初三数学压轴题汇总（一）

1． （本小题满分12分）

在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分线BD交AC与点D， DE⊥DB交AB于点E．

（1）设⊙O是△BDE的外接圆，求证:AC是⊙O的切线;

（2）设⊙O交BC于点F，连结EF，求的值．

解（1） 证明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圆，∴BE是⊙O的直径，点O是BE的中点，连结OD，（ 1分）

∵，∴．

又∵BD为∠ABC的平分线，∴．

∵，∴．

∴，即∴ 4分

又∵OD是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线．  5分

 （2） 解：设⊙O的半径为r， 

在Rt△ABC中， ，

∴ 7分

∵，，∴△ADO∽△ACB．

∴．∴．

∴．∴ 10分

又∵BE是⊙O的直径．∴．∴△BEF∽△BAC

∴．

2．如图，已知 ，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

(1) 求C点坐标及直线BC的解析式;

(2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．

解:

解： （1）

过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知： ．

∴．∴C点坐标为． 2分

直线BC的解析是为： 

化简得：  3分

（2）设抛物线解析式为，由题意得： ，   

解得： 

∴解得抛物线解析式为或．

又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．

∴满足条件的抛物线解析式为 5分

（准确画出函数图象） 7分

（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h，

故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上． 8分

由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．

如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为 10分

同理可求得直线与y轴交点坐标为 11分

∴两直线解析式；．

根据题意列出方程组： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，， 15分

 [注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]

3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移3个单位长度后恰好经过两点．

（1）求直线及抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；

（3）连结，求与两角和的度数．

【解析】 ⑴ 沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，

．

设直线的解析式为．

在直线上，

．

解得．

直线的解析式为． 

抛物线过点，

解得

抛物线的解析式为． 2分

⑵ 由．

可得．

，，，．

可得是等腰直角三角形．

，．

如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，

．

过点作于点．

．

可得，．

在与中，，，

．

，．

解得．

点在抛物线的对称轴上，

点的坐标为或． 5分

⑶ 解法一：

如图2，作点关于轴的对称点，则．

连结，

可得，．

由勾股定理可得，．

又，

．

是等腰直角三角形，，

．

．

．

即与两角和的度数为． 7分

解法二：

如图3，连结．

同解法一可得，．

在中，，，

．

在和中，

，，

．  ．

．

．

，

．

即与两角和的度数为． 7分

4．已知：关于的一元二次方程．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若

是关于的函数，且，求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量

的取值范围满足什么条件时，．

【解析】 ⑴ 是关于的一元二次方程，

．

当时，，即．

方程有两个不相等的实数根． 2分

⑵ 解：由求根公式，得．

或． 3分

，

．

，

，． 4分

．

即为所求． 5分

⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出

与的图象．

6分

由图象可得，当时，． 7分

00001【点评】 本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、用函数的观点看不等式等知识。对考生要求较高。
本题考点：一元二次方程根的判别式、代数式的大小比较、一次函数、用函数的观点看不等式。

易忽视点：第⑶问中。