初三数学压轴题汇总（四）

16．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于B、C两点．

（1）直接写出B、C两点的坐标；

（2）直线与直线交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP = t）.过点P作PQ∥轴交直线BC于点Q．

① 若点P在线段OA上运动时（如图1），过P、Q分别作轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S ，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值．

② 若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与轴相切.

 

解. （1）  B（12，0） C（0，6） 4分 

 （2）①点P在y = x上，OP = t， 点P坐标（t/2, t/2）  点Q坐标/2)  

/2     /2     6分

    8分

当时，S的最大值为12     9分

②、若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，过P、Q、O三点的圆与轴相切，则圆心在轴上，且轴垂直平分PQ      11分

∴∠POC＝45°  ∴∠QOC＝45°   ∴/2         13分

17．（13分）供销公司销售某种新产品，该产品上市60天内全部售完．公司对产品的市场销售情况进行跟踪调查，调查结果如图（1）和图（2）所示，其中图（1）表示日销售量（件）与上市时间（天）的关系，图（2）表示每件产品的销售利润（元）与上市时间（天）的关系（为正整数）．

   （1）根据图（2）直接写出上市第20天每件产品的利润；

   （2）根据图（1）求出OA、AB所在直线的函数关系式；

   （3）供销公司那一天销售该产品的总利润为500元？

解. （1） 50 元  3 分   （2）OA所在直线的函数关系式      5分

       AB所在直线的函数关系式      8分

（3）0＜t≤20时，总利润＝5t2    5t2=500    t=±10     取t=10    10分

    20＜t≤30时，总利润＝100t    100t=500    t=5    舍去        11分

30＜t≤60时，总利润＝-100t+6000    -100t+6000=500    t=55    13分

  则第10天和第55天的利润为500元.

18．（8分）商场正在销售 “福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元.

（1）一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？

（2）某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买总金额不能超过450元，请你帮公司设计购买方案.

解.（1） 设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为x元和y元.  1分

    依题意，得          4分   解得              5分

（2）设购买“福娃”玩具盒，则购买徽章（20-）盒    125+10（20-）≤450   6分 

 ≤3.65  7分   可取1，2，3      说明方案      8分

19．某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：

（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金元；

（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表1的办法分段处理：

表1

分段方式	处理方法
不超过150元（含150元）	全部由个人承担
超过150元，不超过10000元 （不含150元，含10000元）的部分	个人承担，剩余部分由公司承担
超过10000元（不含10000元）的部分	全部由公司承担

设一职工当年治病花费的医疗费为元，他个人实际承担的费用（包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的医疗公积金元）为元．

（1）由表1可知，当时，；那么，当时，    ；（用含的方式表示）（3分）

（2）该公司职员小陈和大李2007年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表2：

表2

职工	治病花费的医疗费（元）	个人实际承担的费用（元）
小陈	300	280
大李	500	320

请根据表2中的信息，求的值，并求出当时，关于函数解析式；

（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）（2分）

．解：（1） 3分

（2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：

5分

解得： 6分

．

． 8分

（3）个人实际承担的费用最多只需2220元． 10分

20。锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为．

（1）中边上高          ；（2分）

（2）当         时，恰好落在边上（如图1）；（4分）

（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？（6分）

解：（1）； 2分

（2）（或）； 6分

（3）设分别交于，则四边形为矩形．

设，交于（如图2）

，．

，

．

，即

． 8分

． 10分

配方得：． 11分

当时，有最大值，最大值是6． 12分

21．（1）如图13，是抛物线图象上的三点，若三点的横坐标从左至右依次为1，2，3．求的面积．

（2）若将（1）问中的抛物线改为和，其他条件不变，请分别直接写出两种情况下的面积．

（3）现有一抛物线组：；；；

；；依据变化规律，请你写出抛物线组第个式子的函数解析式；现在轴上有三点．经过向轴作垂线，分别交抛物线组于；；；；．记为，为，，为，试求的值．

（4）在（3）问条件下，当时有的值不小于，请探求此条件下正整数是否存在最大值，若存在，请求出此值；若不存在，请说明理由．

解．（1） 1分

3分

（2）① 4分

② 5分

（3）由规律知：

或写成（） 6分

由（1）（2）知：

8分

（4）存在

由上知：

9分

             

               

解得                    又

11分

存在的最大值，其值为 12分

22．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形中，为边的中点，直线交圆于点．

（1）求弦的长．

（2）若是线段上一动点，当长为何值时，三角形与以为顶点的三角形相似．

解．（1）如图1．过点作于点．

在中， 1分

又

2分

的度数为

4分

（2）如图2．当时有      得：．

即点与点重合， 5分

如图3，当时，有

得，即 7分

当或时，三角形与以点为顶点的三角形相似． 8分

23．为了更好治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：

	型	型
价格（万元/台）
处理污水量（吨/月）	240	200

经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元．  （1）求的值．

（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案．

（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．

解．（1） 2分

（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，则：

 (3分)    (4分)

取非负整数     (5分)

有三种购买方案：①型设备0台，型设备10台；②型设备1台，型设备9台；③型设备2台，型设备8台． 6分

（3）由题意： 7分

      又    为1，2．  (8分)

当时，购买资金为：（万元）

当时，购买资金为：（万元）

为了节约资金，应选购型设备1台，型设备9台     (10分)

24. 如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

   （3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

   

. 解:(1)∆ABE∽∆DAE,  ∆ABE∽∆DCA                                   1分

    ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°

    ∴∠BAE=∠CDA

    又∠B=∠C=45°         ∴∆ABE∽∆DCA   (3分)

    (2)∵∆ABE∽∆DCA

    ∴

    由依题意可知CA=BA=

    ∴            ∴m=( 5分)

    自变量n的取值范围为1                                    6分

    (3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n

     ∵m=                       ∴m=n=

∵OB=OC=BC=1               ∴OE=OD=－1

∴D(1－, 0)                                              7分

∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE, DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2

∵BD＋CE=2 BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8

∴BD＋CE=DE                                             8分

(4)成立                                                      9分

证明:如图,将∆ACE绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,

∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.

连接HD,在∆EAD和∆HAD中

∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.

∴∆EAD≌∆HAD

∴DH=DE

又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°

∴BD+HB=DH

即BD＋CE=DE                                            12分